Equations linéaires dans $\Bbb{R}$

Une équation à deux inconnues

1 Equation homogène

Forme canonique: $ax+by = 0$ 1) Si $a=0$ et $b=0$ x et y peuvent prendre n'importe quelles valeurs 2) Si $a\neq 0$, posons $\lambda=-\frac{y}{a}$, alors $y = -\lambda a$ et x = $b\lambda$ 3) Si $b\neq 0$, posons $\lambda=-\frac{x}{b}$, alors $x = -\lambda b$ et y = $a\lambda$

Exercices: A: Résoudre dans $\Bbb{R}$ X $\Bbb{R}$ : $2x+5y=0$ →    Réponse : S = $\{ (5\lambda,-2\lambda), \lambda\in \Bbb R\}$ par exemple pour $\lambda=2$ le couple $(10, -4)\in S$, en effet $2\cdot 10+5\cdot (-4) = 0$ B: Résoudre dans $\Bbb{R}$ X $\Bbb{R}$: $2x+5y=2x+5y$ →    Réponse : S = $\Bbb{R}$ X $\Bbb{R}$ par exemple le couple quelconque $(1000, -41)\in S$, en effet $2\cdot 1000+5\cdot(-41)=2\cdot 1000+5\cdot(-41)$ C: Résoudre dans $\Bbb{R}$ X $\Bbb{R}$: $3x+5y=x+5y$ →    Réponse : $2x+0y=0$ S = $\{ (0,-3\lambda), \lambda\in \Bbb R\}$ par exemple pour $\lambda=2$ le couple $(0, -6)\in S$, en effet $2\cdot 0+0\cdot (-6) = 0$

2 Equation non homogène

Forme canonique: $ax+by+c = 0$ avec $c\neq 0$ 1) Si $a=0$ et $b=0$ x et y ne peuvent prendre aucune valeur car $0x+0y = -c\neq 0$ est impossible 2) Si $a\neq 0$, posons $\lambda=-\frac{y}{a}$, alors $y = -\lambda a$ et x = $b\lambda-\frac{c}{a}$ 3) Si $b\neq 0$, posons $\lambda=-\frac{x}{b}$, alors $x = -\lambda b$ et y = $a\lambda-\frac{c}{b}$

Exercices: D: Résoudre dans $\Bbb{R}$ X $\Bbb{R}$ : $2x+5y+10=0$ →    Réponse : S = $\{ (5\lambda-\frac{10}{2},-2\lambda), \lambda\in \Bbb R\}$ par exemple pour $\lambda=2$ le couple $(5, -4)\in S$, en effet $2\cdot 5+5\cdot (-4)+10 = 0$ E: Résoudre dans $\Bbb{R}$ X $\Bbb{R}$: $2x+5y+10=2x$ →    Réponse : $0x+5y+10=0$ S = $\{ (-5\lambda; 0\lambda-\frac{10}{5},), \lambda\in \Bbb R\}$ par exemple le couple $(-50001,-2)\in S$, en effet $0\cdot (-50001)+5\cdot(-2)+10=0$ F: Résoudre dans $\Bbb{R}$ X $\Bbb{R}$: $3x+5y+1=3x+5y+2$ →    Réponse : $0x+0y=1$ S = $\emptyset$ par exemple le couple $(10, 1)\notin S$, en effet $0\cdot 10+0\cdot1 = 0\neq 1$